Podchwytliwe równanie z x to przykład równania wielomianowego, w którym najwięcej zyskuje się na sprytnym przekształceniu, a nie na mozolnym mnożeniu. Występują tu dwa podobne nawiasy, które różnią się tylko znakiem, i to one prowadzą prosto do rozkładu na czynniki. Gdy zobaczysz wspólny element po obu stronach, całe zadanie skraca się do kilku ruchów. Po drodze pojawi się ważna uwaga, iż takie równanie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Właśnie to sprawia, iż zadanie jest podchwytliwe.
REKLAMA
Zobacz wideo Uczy matematyki na TikToku. "Uczniowie mówią mi, iż w 60 sekund uczą się więcej niż przez 45 minut lekcji w szkole"
Podchwytliwe równanie z x wygląda jak pułapka na znaki, ale da się je rozbroić jednym ruchem. Sprawdź zapis i spróbuj znaleźć wszystkie wartości x
Rozwiąż równanie: x²(x - 1) = 7x(1 - x). Na początku łatwo wpaść w nawyk rozwijania nawiasów, bo wtedy wszystko robi się "na wierzchu". Taka metoda działa, ale tu wydłuża zapis i zwiększa ryzyko pomyłki.
Jakie jest rozwiązanie? Ile wynosi x?fot. materiały redakcyjne
W tym przykładzie klucz tkwi w tym, iż nawiasy (x - 1) oraz (1 - x) są ze sobą ściśle powiązane. jeżeli to zauważysz, nie będziesz liczyć na okrągło, tylko od razu zaczniesz skracać drogę. Zwróć uwagę na czynnik x, bo pojawia się po obu stronach i może prowadzić do jednego z rozwiązań. Pamiętaj też, iż polecenie brzmi "wszystkie wartości x", więc nie kończ po pierwszym trafieniu. To zadanie najlepiej rozwiązać spokojnie, bez pośpiechu i bez rozpisywania zbędnych kroków.
Rozwiązanie podchwytliwego równania z x opiera się na zamianie nawiasu i rozkładzie na czynniki. Gdy doprowadzisz do iloczynu równego zero, dostaniesz komplet odpowiedzi
Zacznij od prostego faktu: (1 - x) = -(x - 1), więc prawą stronę można zapisać jako 7x(1 - x) = -7x(x - 1). Po tej zamianie równanie wygląda tak: x²(x - 1) = -7x(x - 1). Przenieś wszystko na jedną stronę, aby powstało zero: x²(x - 1) + 7x(x - 1) = 0. Teraz wyłącz wspólny czynnik przed nawias, bo występuje w obu składnikach: (x - 1)(x² + 7x) = 0.
Drugi nawias też da się rozłożyć, bo x² + 7x = x(x + 7), więc otrzymujesz (x - 1)·x·(x + 7) = 0. Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem. Stąd wynikają trzy rozwiązania: x = 1, x = 0 oraz x = -7. To rozwiązanie jest pełnym zestawem wartości spełniających równanie. jeżeli podstawisz każdą z nich do wyjściowego zapisu, zobaczysz, iż obie strony stają się równe.
