Nie każda zagadka matematyczna polega na szybkich obliczeniach lub zapamiętanych wzorach. W wielu przypadkach ważniejsze jest zrozumienie zależności między liczbami oraz poprawne wykorzystanie ich własności. W prezentowanym zadaniu kluczową rolę odgrywa relacja między liczbą trzycyfrową a sumą jej cyfr po wykonaniu dzielenia. Całość opiera się na prostych zasadach arytmetyki, ale wymaga uporządkowanego myślenia. To właśnie takie zadania najlepiej pokazują, iż matematyka nagradza cierpliwość i precyzję.
REKLAMA
Zobacz wideo Matura z matematyki. Czy powinna być obowiązkowa? Matematyczka: Tak, jest jedno "ale". "Nauczyciele powinni przechodzić testy psychologiczne"
Trzycyfrowa liczba i jeden warunek, który zmienia wszystko. Ta zagadka matematyczna gwałtownie eliminuje błędne tropy
Treść zadania dotyczy liczb trzycyfrowych podzielnych przez dziewięć i już na tym etapie ogranicza zbiór możliwych rozwiązań. Dodatkowy warunek wprowadza zależność między sumą cyfr badanej liczby a sumą cyfr jej ilorazu po podzieleniu przez dziewięć. Informacja ta nie wskazuje gotowej metody, ale pozwala logicznie zawęzić rozważane przypadki.
Ile jest takich liczb?materiały redakcyjne
Wiadomo, iż każda liczba podzielna przez dziewięć ma sumę cyfr również podzielną przez dziewięć. Oznacza to, iż w przypadku liczb trzycyfrowych możliwe są tylko określone wartości tej sumy. Najmniejsza z nich to dziewięć, a największa dwadzieścia siedem. Dzięki temu nie trzeba analizować wszystkich liczb po kolei. Wystarczy skupić się na kilku wariantach, które wynikają bezpośrednio z własności liczb naturalnych. Takie podejście pozwala uniknąć chaosu i sprawia, iż zadanie staje się przejrzyste. Każdy kolejny krok wynika z poprzedniego i nie wymaga dodatkowych założeń.
Rozwiązanie prowadzące do dokładnej liczby odpowiedzi. Tak krok po kroku dochodzi się do wyniku w tej zagadce matematycznej
Niech x oznacza liczbę spełniającą warunki zadania. Ponieważ x jest podzielna przez dziewięć, suma jej cyfr również musi dzielić się przez dziewięć. W pierwszej kolejności można rozważyć sytuację, w której suma cyfr x wynosi dziewięć. W takim przypadku iloraz x podzielonego przez dziewięć miałby sumę cyfr równą zero, co nie jest możliwe dla dodatniej liczby całkowitej.
Następnie należy sprawdzić wariant z sumą cyfr równą 27. Jedyną liczbą trzycyfrową spełniającą ten warunek jest 999. Po podzieleniu jej przez dziewięć otrzymuje się sto jedenaście, a suma cyfr tej liczby wynosi trzy, więc również ten przypadek nie spełnia treści zadania. Pozostaje więc sytuacja, w której suma cyfr x jest równa 18. Wtedy suma cyfr ilorazu x przez dziewięć musi wynosić dziewięć.
Oznacza to, iż liczba x podzielona przez dziewięć przez cały czas jest podzielna przez dziewięć, a więc sama liczba x musi dzielić się przez 81. Wystarczy zatem sprawdzić wszystkie wielokrotności osiemdziesięciu jeden mniejsze od tysiąca. Po dokładnym przeanalizowaniu tych liczb okazuje się, iż warunek spełnia dokładnie pięć z nich. Są to486, 567, 648, 729 oraz 972. Ten zbiór jest kompletny i nie wymaga dalszych uzupełnień.
