W ubiegłym tygodniu uczniowie klasy Ie rozszerzający matematykę, wraz z p. Joanną Szpyt, wzięli udział w ciekawym, naukowym spotkaniu. Razem z uczniami szkół średnich z całej Polski wysłuchali wykładu „W poszukiwaniu najbardziej dowolnego trójkąta”. Wygłosił go dr Piotr Pikul – pracownik Katedry Analizy Funkcjonalnej w Instytucie Matematyki UJ na Wydziale Matematyki i Informatyki UJ.
Na wstępie wykład zaczął się od przypomnienia i krótkiego omówienia kilku trójkątów szczególnych — były to typowe przypadki: trójkąt równoboczny, prostokątny, równoramienny, i inne „skrajne” konfiguracje. Wskazano, iż te trójkąty wyróżniają się ze względu na własności typu: równoramienność, prostokątność itd.
Następnie prowadzący poruszył koncepcję „odległości między zbiorami” — w ramach intuicji, iż w przestrzeni wszystkich możliwych trójkątów można próbować określić, jaki trójkąt jest „jak najdalej” od tych szczególnych przypadków. To było preludium do formalizacji pojęcia dowolności.
Potem wprowadzona została — zarysowo — definicja odległość Hausdorffa, jako przykład metryki „odległości między zbiorami”.
Celem było wyznaczenie takiego trójkąta, który — w sensie geometrycznym — byłby jak najbardziej dowolny, czyli jak najmniej przypominałby typowe, specjalne trójkąty. Autor rozważał dwie główne metody:
- Metoda długości boków — poszukiwanie trójkąta o takiej proporcji boków, która maksymalizuje „odległość” od struktur typu równobocznego czy prostokątno-równoramiennego. To podejście prowadzi do wniosku, iż najbardziej dowolnym trójkątem jest ten o proporcjach boków 8 : 7 : √33
- Metoda kątowa — rozważanie miar kątów wewnętrznych i próba maksymalizacji minimalnych odległości od cech charakterystycznych takich jak prostokątność (kąt = 90°) czy równoramienność (kąty równe). Przy założeniu, iż trójkąt jest ostrokątny, autor wykazał, iż optymalny wybór to kąty wewnętrzne: 45°, 60°, 75°.
Porównanie dwóch kandydatów
- Trójkąt o bokach 8 : 7 : √33 — wynik metody długości boków.
- Trójkąt o kątach 45°, 60°, 75° — wynik metody kątowej.
Wykładowca zaznaczył, iż oba te trójkąty „są blisko” bycia najbardziej dowolnym, ale są sobie nieznacznie różne. Formalna weryfikacja pokazuje, iż to nie jest ten sam trójkąt (choć mogłoby się wydawać „na oko”, iż bardzo podobny).
Na zakończenie wykładowca podsumował, iż choć matematycznie udało się wskazać mocne kandydatury na „najbardziej dowolny trójkąt”, to problem nie ma jednoznacznego, jedynego rozwiązania — wiele zależy od przyjętej metryki i tego, co uznamy za „dowolność”.
Dodatkowo, na zakończenie prowadzący pokazał również złoty trójkąt (jako interesujący przykład trójkąta o szczególnych własnościach geometrycznych) — co dało kontrast wobec omawianych „dowolnych” trójkątów. Potem uczestnicy mogli wziąć udział w krótkim quizie („matematyczne czwartki”).
M. Babiec, W. Hudela
(grafika pochodzi ze strony Matematyczne Czwartki na UJ)
