Matematyka bardzo często opiera się na analizie ograniczeń, a nie na skomplikowanych obliczeniach. W wielu zadaniach najważniejsze znaczenie ma dokładne przeczytanie treści i konsekwentne trzymanie się założeń. W tej łamigłówce istotne są tylko dwie cyfry oraz jedna, ściśle określona suma. Takie zawężenie sprawia, iż liczba możliwych rozwiązań jest ograniczona, ale wciąż wymaga systematycznego podejścia. Bez uporządkowanego rozumowania łatwo popełnić błąd lub pominąć jeden z przypadków.
REKLAMA
Zobacz wideo Uczy matematyki na TikToku. "Uczniowie mówią mi, iż w 60 sekund uczą się więcej niż przez 45 minut lekcji w szkole"
Tylko cyfry jeden i trzy oraz ściśle określona suma. Ta zagadka matematyczna wymaga dokładności
Zadanie polega na ustaleniu, ile istnieje liczb naturalnych, w których zapisie mogą występować wyłącznie cyfry 1 lub 3, a suma wszystkich cyfr wynosi dokładnie dziesięć. Nie wolno korzystać z żadnych innych cyfr ani zmieniać warunku dotyczącego sumy. Każda rozpatrywana liczba musi spełniać oba kryteria jednocześnie.
Ile liczb spełnia ten warunek?materiały redakcyjne
Już na początku widać, iż nie jest to zagadka oparta na intuicji. Odpowiedź nie pojawia się po jednym szybkim obliczeniu. Konieczne staje się rozbicie problemu na wyraźnie określone przypadki. Trzeba ustalić, jakie kombinacje cyfr w ogóle mogą prowadzić do wymaganej sumy. Dopiero po wykonaniu tego kroku można przejść do dokładnego liczenia poprawnych zapisów. Całe zadanie wymaga spokoju, cierpliwości oraz konsekwencji w analizie.
Kluczową rolę odgrywa tu różnica wartości między cyframi jeden i trzy. Trójka znacznie szybciej zwiększa sumę cyfr, dlatego jej liczba w zapisie musi być ograniczona. Gdyby pojawiła się zbyt często, suma natychmiast przekroczyłaby dozwoloną wartość. Z drugiej strony same jedynki nie pozwoliłyby osiągnąć wymaganej sumy bez odpowiedniego uzupełnienia.
To prowadzi do wniosku, iż liczba możliwych konfiguracji nie jest dowolna. Na tym etapie zawężamy zbiór przypadków do tych, które faktycznie mają sens. Dzięki temu dalsze rozumowanie staje się uporządkowane. Zamiast chaotycznie sprawdzać różne długości liczb, skupiamy się na konkretnych wariantach. Takie podejście pozwala zachować kontrolę nad całym procesem rozwiązywania.
Rozwiązanie bez skrótów i domysłów. Każda liczba pojawia się tylko raz, a końcowy wynik wynika z logicznej analizy
Rozwiązanie zaczyna się od ustalenia maksymalnej liczby trójek, które mogą wystąpić w zapisie jednej liczby. Trzy trójki dają sumę dziewięć, więc pozostaje jeszcze jedna jednostka do uzupełnienia. Cztery trójki oznaczałyby sumę dwunastu, co od razu wyklucza taki zapis. Najpierw rozpatrujemy więc liczby zawierające dokładnie trzy trójki i jedną jedynkę. Istnieją cztery takie liczby, różniące się położeniem jedynki w zapisie. Są to 1333, 3133, 3313 oraz 3331. Każda z nich jest innym zapisem liczby naturalnej, dlatego wszystkie muszą zostać uwzględnione osobno.
Kolejną grupę stanowią liczby zawierające dokładnie dwie trójki. Pozostałe miejsca w zapisie zajmują jedynki. Liczbę możliwych wariantów ustalamy, analizując położenie pierwszej trójki. Gdy znajduje się ona na pierwszym miejscu, istnieje pięć możliwości wstawienia drugiej trójki. jeżeli pierwsza trójka pojawia się na drugim miejscu, liczba wariantów spada do czterech. Dla trzeciej pozycji otrzymujemy trzy możliwości, dla czwartej dwie, a dla piątej tylko jedną. Po zsumowaniu wszystkich tych przypadków otrzymujemy piętnaście liczb z dwiema trójkami.
Następnie rozpatrujemy liczby zawierające tylko jedną trójkę. W takim zapisie pozostałe cyfry to jedynki, a suma cyfr przez cały czas musi wynosić dziesięć. Punktem wyjścia jest liczba złożona z siedmiu jedynek, do której wstawiamy jedną trójkę. Można to zrobić na osiem różnych sposobów, a każdy z nich prowadzi do innej liczby naturalnej. Na końcu pozostaje jeszcze jeden przypadek, czyli liczba składająca się wyłącznie z jedynek. Jej suma cyfr również spełnia podany warunek. Po zliczeniu wszystkich rozłącznych grup otrzymujemy wynik końcowy. Cztery liczby z trzema trójkami, piętnaście liczb z dwiema trójkami, osiem liczb z jedną trójką oraz jedna liczba z samych jedynek dają łącznie dwadzieścia osiem poprawnych zapisów. Ostateczny wynik jest efektem systematycznego liczenia, a nie przypadku.
