Podczas moich wyjazdów na konferencje naukowe w różnych częściach świata oraz moich prywatnych wyjazdach czasem napotykałem różne pomniki czy instalacje ilustrujące rozmaite pojęcia czy obiekty matematyczne. Jednym z takich przykładów jest most w Pekinie, na którym zilustrowane jest twierdzenie Lagrange’a, które poznają wszyscy moi studenci w AZ czy też ławeczka w Singapurze ilustrująca wstęgę Möbiusa… Pomyślałem, iż podobna konstrukcja rozsławi naszą Uczelnię, gdyż sądzę, iż nigdzie na świecie nie ma takiego pomnika – mówi dr hab. Witold Mozgawa o butelce Kleina, która stoi przed budynkiem Akademii Zamojskiej przy ul. Zamoyskiego 64. W tym roku mija 10 lat od powstania instalacji.
Panie Profesorze butelka kojarzy się studentom jednoznacznie. W przypadku butelki Kleina jest jednak nieco inaczej. Na czym polega jej fenomen?
Na pewno studentom AZ butelka kojarzy się z dwiema rzeczami: albo z wielorazowymi butelkami na wodę, które są popularne wśród osób, które dbają o środowisko naturalne i swoje zdrowie albo z butelką Kleina, której pomnik stoi od 2015 roku przed budynkiem AZ przy ulicy Zamoyskiego 64. Butelka Kleina to pewna powierzchnia opisana w 1882 przez wielkiego niemieckiego matematyka Felixa Kleina. Na wykładzie inauguracyjnym w Uniwersytecie w Erlangen w 1872 sformułował on tak zwany program z Erlangen powszechnie uznawany przez matematyków za podstawowe podejście do wszystkich geometrii. Powierzchnie interesują ludzi od starożytności. Na przykład płaszczyzna, czyli pewnego rodzaju abstrakcyjne pole rolnika jest powierzchnią, zaś sfera to idealizacja powierzchni Ziemi. Powierzchnie są interesujące jako samodzielne obiekty, ale też służą do opisu zjawisk i konstrukcji mechanicznych lub architektonicznych, a także mają zastosowanie w chemii czy fizyce. Powierzchnia Kleina, której nazwa została prawdopodobnie mylnie przetłumaczona jako butelka Kleina, jest niezwykłym obiektem geometrycznym będący przykładem powierzchni nieorientowalnej, czyli jednostronnej i jednocześnie nieposiadającej brzegu. Butelka Kleina jest ściśle związana z wstęgą Möbiusa, która również jest jednostronną powierzchnią, ale w butelce Kleina nie można rozróżnić jej wnętrza i zewnętrza. Z tego powodu butelka Kleina nie może służyć do przechowywania napojów choć w jej zagięcia można nalać pożądanego przez nas płynu. Tu przypomina mi się, jak mój promotor doc. dr hab. A. Szybiak mawiał: butelka Kleina może jedynie służyć do łapania much zerowych. Nieśmieszne, prawda? Jak wszystkie dowcipy matematyczne, które muszą czasem wysłuchać moi studenci by nie usnęli z nudów. Kolejną cechą butelki Kleina jest fakt, iż w trzech wymiarach, czyli w naszej rzeczywistości, każde jej przedstawienie musi mieć samoprzecięcia i aby tego uniknąć musimy ją rozważać w czterech wymiarach. Umiem to prosto wyjaśnić, ale raczej podczas jakiegoś wykładu, gdyż trzeba to ilustrować rysunkami. Taki właśnie sposób został wybrany do przedstawienia butelki Kleina na pomniku stojącym przed budynkiem AZ. Jeszcze wrócę do jej nieorientowalności, którą można opisać intuicyjnie tak: jeżeli „poruszamy się” po butelce Kleina, to możemy powrócić do punktu początkowego z odwróconą orientacją, czyli np. mając serce po prawej stronie. Te koncepcje są czasem wykorzystywane przez fizyków w teoriach opisujących Wszechświat. Myślę, iż widząc „naszą” butelkę Kleina każdy czytający powyższe fakty lepiej zrozumie jej fenomen.
Jak butelka Kleina przydaje się do działań i twierdzeń matematycznych?
Butelka Kleina jest bardzo ważnym przykładem powierzchni dwuwymiarowej rozważanym w topologii i geometrii różniczkowej. Jest symbolem faktu, iż obiekty istniejące w czterech wymiarach umiemy ogarniać naszym umysłem i je dogłębnie badać, a także je stosować do klasyfikacji obiektów geometrycznych, w topologii algebraicznej, w fizyce teoretycznej w teorii pola czy teorii strun. W informatyce jest używana do analizowania pewnych grafów i algorytmów. To bardzo dobry przykład, jak abstrakcyjne idee matematyczne mogą kształtować i zmieniać nasze postrzeganie rzeczywistości wykraczając poza intuicyjną geometrię euklidesową, której uczymy się w szkole. Butelka Kleina nie jest tylko osobliwością czy ciekawostką, jest obiektem w matematyce teoretycznej o fundamentalnym znaczeniu, który pomaga rozwijać i badać rozmaite struktury przestrzenne i topologiczne. Mówiąc o własnościach topologicznych mam na myśli takie własności różnych przestrzeni, które nie ulegają zmianie po dowolnym odkształcaniu badanej przestrzeni, takim jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub sklejania różnych punktów. To jednak temat na inny wykład, choć dodam, iż dla topologa trójkąt jest nie do odróżnienia od kręgu.
Co wpłynęło na decyzję o postawieniu takiej instalacji przez budynkiem Akademii przy ul. Zamoyskiego 64?
Podczas moich wyjazdów na konferencje naukowe w różnych częściach świata oraz moich prywatnych wyjazdach czasem napotykałem różne pomniki czy instalacje ilustrujące rozmaite pojęcia, czy obiekty matematyczne. Jednym z takich przykładów jest most w Pekinie, na którym zilustrowane jest twierdzenie Lagrange’a, twierdzenie które poznają wszyscy moi studenci na AZ. Czy też ławeczka w Singapurze ilustrująca wstęgę Möbiusa … Pomyślałem, iż podobna konstrukcja rozsławi naszą Uczelnię, gdyż sądzę, iż nigdzie na świecie nie ma takiego pomnika. Przekonałem kanclerza ówczesnej PWSZ w Zamościu do pomocy finansowej, a mojego kolegę, grafika z Krakowa, Pawła Bika, by zaprojektował i wykonał pomnik butelki Kleina. I jest!
Na świecie jest wiele pomników Pitagorasa, Archimedesa czy innych matematyków. Jednak takich instalacji nawiązujących stricte do matematyki jest niewiele…
Tak to prawda, ale można podać kilka interesujących przykładów, które nie wyczerpują wszystkich konstrukcji. Poza powyższym mostem w Pekinie, między innymi, interesujący jest pomnik wstęgi Möbiusa w Eindhoven University of Technology lub przed Kirgiskim Narodowym Muzeum Sztuk Pięknych w Biszkeku, piękna jest powierzchnia Boya w Oberwolfach, oraz prześliczne są grafiki M.C. Eschera, które można odnaleźć w Internecie lub w jego muzeum w Hadze. Myślę, iż zainteresowani mogą znaleźć dużo więcej interesujących przykładów lub, lepiej, samodzielnie je zobaczyć podczas różnych podróży.
W jak Witek
Czy humaniści i matematyczni laicy będą mieli okazję poznać bliżej czym jest butelka Kleina w sposób przystępny? (może jakiś wykład?)
Sprowokowany przez Pana oraz okrągłą rocznicę instalacji pomnika butelki Kleina w Zamościu obiecuję, iż na wiosnę przygotuję prosty, bez wzorów, zrozumiały wykład na temat butelki Kleina, na który zapraszam wszystkich – pracowników, studentów oraz wszystkich innych, którym się ten pomnik wydaje interesujący.
Rozmawiał Daniel Czubara, Portal Akademicki „Skafander”
