Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia pozwalają gwałtownie przekształcać i upraszczać złożone wielomiany. Obliczenie sześcianu sumy, sześcianu różnicy, sumy sześcianów czy różnicy sześcianów nie musi oznaczać czasochłonnego wymnażania, wystarczy znać konkretne wzory, które znacząco skracają rachunki. Ta umiejętność jest szczególnie pomocna podczas rozkładania wielomianów na czynniki, rozwiązywania równań czy przy usuwaniu niewymierności z mianownika zawierającego pierwiastki trzeciego stopnia.
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia 3 stopnia nie tylko przyspiesza pracę z wyrażeniami algebraicznymi, ale też rozwija zdolność rozpoznawania schematów w matematyce. Regularne ćwiczenia na szkolnych przykładach przekładają się na sprawniejsze rozwiązywanie typowych zadań oraz lepsze przygotowanie do egzaminów.
Czym są wzory skróconego mnożenia 3 stopnia?
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia to zestaw uniwersalnych tożsamości algebraicznych dotyczących sześcianów sum, sześcianów różnic oraz sumy i różnicy sześcianów. Stosujemy je, aby szybciej i prościej rozpisywać wielomiany trzeciego stopnia oraz przekształcać wyrażenia algebraiczne, szczególnie podczas rozwiązywania równań i rozkładania wielomianów na czynniki.
Poniżej znajdziesz najważniejsze wzory:
- Sześcian sumy:
(a+b)ł = ał + 3a²b + 3ab² + bł - Sześcian różnicy:
(a−b)ł = ał − 3a²b + 3ab² − bł - Suma sześcianów:
ał + bł = (a+b)(a² − ab + b²) - Różnica sześcianów:
ał − bł = (a−b)(a² + ab + b²)
To podstawowe narzędzia, które pomagają w algebraicznych przekształceniach i upraszczaniu rachunków w matematyce licealnej, a także podczas rozwiązywania równań algebraicznych i pracy z wielomianami trzeciego stopnia.
Wyjaśnienie i praktyczne przykłady użycia każdego wzoru
Sześcian sumy: (a+b)ł = ał + 3a²b + 3ab² + bł
Wzór ten pozwala bardzo gwałtownie rozpisać podniesienie sumy dwóch wyrażeń do trzeciej potęgi, bez konieczności wielokrotnego wymnażania. Jest używany często przy rozkładaniu wielomianów do trzeciej potęgi oraz podczas upraszczania wyrażeń algebraicznych.
Przykład:
Oblicz (2x+3)ł.
Według wzoru:
(2x+3)ł = (2x)ł + 3·(2x)²·3 + 3·(2x)·3² + 3ł
= 8xł + 3·4x²·3 + 3·2x·9 + 27
= 8xł + 36x² + 54x + 27
Ćwiczenie:
Wyraź (a+2b)ł jako sumę składników.
Odpowiedź:
(a+2b)ł = ał + 3a²·2b + 3a·(2b)² + (2b)ł = ał + 6a²b + 12ab² + 8bł
Sześcian różnicy: (a−b)ł = ał − 3a²b + 3ab² − bł
Analogicznie do sześcianu sumy, pozwala na szybkie rozwinięcie potęgi wyrażenia typu (a−b)ł, przydaje się np. podczas rozkładania wyrażeń czy usuwania niewymierności z mianownika w pierwiastkach trzeciego stopnia.
Przykład:
Wyznacz (x−5)ł.
(x−5)ł = xł − 3x²·5 + 3x·25 − 125
= xł − 15x² + 75x − 125
Ćwiczenie:
Zapisz (3a−b)ł jako sumę składników.
Odpowiedź:
(3a−b)ł = (3a)ł − 3·(3a)²·b + 3·(3a)·b² − bł
= 27ał − 27a²b + 9ab² − bł
Suma sześcianów: ał + bł = (a+b)(a² − ab + b²)
Ten wzór jest najważniejszy dla rozkładania sumy sześcianów na czynniki, wykorzystywany m.in. przy rozwiązywaniu równań algebraicznych lub rozkładaniu wielomianów trzeciego stopnia.
Przykład:
Rozłóż na czynniki: xł + 8
xł + 8 = xł + 2ł = (x+2)(x² − 2x + 4)
Ćwiczenie:
Zastosuj wzór do rozkładu wyrażenia: 27ył + 64zł.
Odpowiedź:
27ył + 64zł = (3y)ł + (4z)ł = (3y+4z)[(3y)² − (3y)·4z + (4z)²]
= (3y+4z)(9y² − 12yz + 16z²)
Różnica sześcianów: ał − bł = (a−b)(a² + ab + b²)
Służy, podobnie jak suma sześcianów, do rozkładania różnicy sześcianów na czynniki. Niezastąpiony przy przekształceniach algebraicznych oraz rozwiązywaniu równań trzeciego stopnia.
Przykład:
Rozłóż na czynniki: xł − 27
xł − 27 = xł − 3ł = (x−3)(x² + 3x + 9)
Ćwiczenie:
Zastosuj wzór do rozkładu: 8ał − bł.
Odpowiedź:
8ał − bł = (2a)ł − bł = (2a−b)[(2a)² + 2a·b + b²] = (2a−b)(4a² + 2ab + b²)
Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia – przykłady w praktyce
Znajomość wzorów skróconego mnożenia trzeciego stopnia ułatwia przekształcenia algebraiczne, pozwala na sprawne rozkładanie wielomianów oraz jest kluczowa podczas rozwiązywania równań algebraicznych trzeciego stopnia. To także duże ułatwienie w zadaniach z działu „wielomiany do trzeciej potęgi” i podczas pracy z pierwiastkami sześciennymi.
Zadanie 1:
Rozłóż na czynniki: xł + 27
xł + 27 = (x+3)(x² − 3x + 9)
Zadanie 2:
Uprość wyrażenie: (2y−3)ł
(2y−3)ł = (2y)ł − 3·(2y)²·3 + 3·(2y)·3² − 3ł
= 8ył − 36y² + 54y − 27
Zadanie 3:
Rozwiąż równanie: xł − 8x = 0
xł − 8x = x(x² − 8) = 0
x = 0 lub x² − 8 = 0
x = 0, x = √8, x = −√8
Jak rozłożyć wielomiany do trzeciej potęgi? (Praktyczne wskazówki)
- Rozpocznij od sprawdzenia, czy wyrażenie ma postać sześcianu sumy/różnicy lub sumy/różnicy sześcianów.
- Skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia:
- Jeśli rozkładasz np. xł + ał, sprawdź, czy da się zapisać jako suma sześcianów i użyj: (x+a)(x²−xa+a²).
- Jeśli masz wyrażenie typu (a−b)ł, rozwiń według wzoru.
- Podczas rozkładania trójmianów lub czwórmianów rozważ zastosowanie podstawienia lub wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias.
Wskazówka dla maturzystów:
Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia przyspieszają liczenie na maturze, pozwalają także na sprawne rozkładanie wielomianów na czynniki i ułatwiają przekształcanie równań trzeciego stopnia.
Zastosowania wzorów skróconego mnożenia w matematyce
- Upraszczanie wyrażeń algebraicznych:
Sprawnie uprościsz rozbudowane wzory, skracając rachunki i liczenie „na piechotę”. - Rozwiązywanie równań wielomianowych:
Rozkładanie równań trzeciego stopnia pozwala znaleźć wszystkie pierwiastki lub uprościć postać równania do rozwiązywalnej. - Usuwanie niewymierności z mianowników:
Dzięki wzorom na sumę i różnicę sześcianów możesz usuwać niewymierność z wyrażeń zawierających pierwiastek trzeciego stopnia w mianowniku, np. przez przemnożenie przez odpowiednią „dopełniającą” liczbę. - Rozkładanie wielomianów na czynniki:
Każdy z przedstawionych wzorów to szybka droga do rozłożenia wielomianu, np. xł−ał, na czynniki, co jest niezbędne przy redukcji ułamków algebraicznych i dalszych przekształceniach.
Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia to nie tylko „regułki” do wkuwania, to realna pomoc w szybkim liczeniu i rozwiązywaniu równań. Ćwicz je regularnie, korzystając z prostych przykładów i własnych ćwiczeń, by skrócić czas rozwiązywania zadań i mieć pewność, iż algebra nie zaskoczy Cię na egzaminie czy sprawdzianie. Pamiętaj, iż przekształcanie wyrażeń i rozkładanie wielomianów na czynniki to nieodłączna część zarówno matematyki szkolnej, jak i praktycznych zastosowań matematyki w życiu codziennym.
