Zagadki matematyczne o prawdopodobieństwie to dobry sposób na ćwiczenie logicznego myślenia bez korzystania ze skomplikowanych wzorów. Wystarczy krótki opis sytuacji, kilka liczb i pytanie o to, która z możliwości jest korzystniejsza. Takie zadania uczą, iż przy ocenie szans liczy się udział danego zdarzenia w całym zbiorze, a nie ogólne wrażenie, iż czegoś jest dużo albo mało. Dzięki nim łatwiej wyrobić nawyk dokładnego czytania treści i spokojnego analizowania liczb. Łamigłówka z kulami i dwoma pudełkami dobrze pokazuje, jak przełożyć opis słowny na prosty model obliczeniowy i dojść do jednoznacznej odpowiedzi.
REKLAMA
Zobacz wideo Matura z matematyki. Czy powinna być obowiązkowa? Matematyczka: Tak, jest jedno "ale". "Nauczyciele powinni przechodzić testy psychologiczne"
Zagadki matematyczne o prawdopodobieństwie uczą świadomego liczenia. Zielona kula decyduje o ostatecznym wyniku
Zadanie polega na odpowiedzi na pytanie, z którego pudełka prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli jest większe.fot. materiały redakcyjne
Wyobraź sobie dwa pudełka. W pierwszym znajduje się pięć zielonych kul i siedem kul w innym kolorze, w drugim trzy zielone kule i dziewięć o innej barwie. W obu pudełkach jest po dwanaście elementów, ale rozkład kolorów różni się wyraźnie. Zadanie polega na odpowiedzi na pytanie, z którego pudełka prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli jest większe. Trzeba zdecydować, czy lepiej wybrać zestaw z większą liczbą zielonych kul, czy może ten, w którym ich liczba jest mniejsza. Już na tym etapie warto zapisać dane w uporządkowany sposób, aby niczego nie pominąć. Taka forma zagadki zachęca, aby zamiast zgadywać, potraktować opis jak krótkie zadanie tekstowe i przełożyć słowa na liczby. Dzięki temu łatwiej przejść od treści do obliczeń.
Skoro oba pudełka zawierają tyle samo kul, można skupić się na tym, jaką część całego zbioru stanowią zielone kule w każdym z nich. W pierwszym pojemniku jest ich więcej niż w drugim, co od razu sugeruje przewagę, ale dopiero zapis w postaci ułamka pokazuje różnicę dokładnie. Uporządkowane dane sprawiają, iż zagadka zyskuje czytelną strukturę i staje się dobrym punktem wyjścia do dalszych obliczeń. Rozwiązujący widzi, iż nie potrzebuje zaawansowanej wiedzy, tylko spokojnej analizy liczb.
Jak obliczyć prawdopodobieństwo z dwóch pudełek? Prosty przykład prowadzi krok po kroku do odpowiedzi
Rozwiązanie zaczyna się od zamiany opisu na ułamki. W pierwszym pudełku zielonych kul jest pięć na dwanaście wszystkich, dlatego prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli zapisujemy jako pięć dwunastych. W drugim pudełku trzy zielone kule na dwanaście tworzą ułamek trzy dwunaste. Oba mianowniki są takie same, co ułatwia porównanie wyników. W takiej sytuacji wystarczy spojrzeć na liczniki. Większa liczba w liczniku oznacza większy udział danego zdarzenia w całym zbiorze. Skoro pięć dwunastych jest większe niż trzy dwunaste, większą szansę na wylosowanie zielonej kuli daje pierwsze pudełko. Odpowiedź jest jednoznaczna. Korzystniej jest losować z pierwszego pojemnika i to rozwiązanie jest jedyne.
Kolejny krok polega na przybliżeniu tych wartości w postaci liczb dziesiętnych, aby lepiej je porównać. Ułamek pięć dwunastych to około czterdzieści jeden setnych, a trzy dwunaste to dwadzieścia pięć setnych. Różnica między tymi wynikami jest wyraźna i pokazuje, iż pierwsze pudełko daje zauważalnie większą szansę powodzenia. Dzięki temu decyzja nie opiera się na przeczuciu, tylko na policzonym wyniku. Taki sposób liczenia można później wykorzystać w innych zadaniach, w których trzeba porównać kilka możliwości i wybrać tę bardziej prawdopodobną.
Co dzieje się, gdy zmieniają się dane wejściowe? Ta sama metoda obliczeń działa w wielu zagadkach
W trzecim etapie warto zastanowić się, jak zmieniłoby się prawdopodobieństwo, gdyby dane w zadaniu były inne. Gdyby na przykład w drugim pudełku pojawiła się dodatkowa zielona kula, licznik w ułamku odpowiadającym temu pojemnikowi byłby większy, a wynik obliczeń byłby bliższy temu z pierwszego pudełka. Przy odpowiednio dużej zmianie liczby zielonych kul szanse w obu pudełkach mogłyby się wyrównać albo zamienić miejscami. Nie zmienia to jednak faktu, iż przy pierwotnych danych rozwiązanie pozostaje jednoznaczne. W pierwszej wersji zagadki to właśnie pierwsze pudełko daje większe prawdopodobieństwo.
Osoba, która raz przeanalizuje tę łamigłówkę, łatwiej poradzi sobie z kolejnymi zadaniami wykorzystującymi podobny schemat. Wystarczy zapamiętać, iż przy porównywaniu ułamków z takim samym mianownikiem większy licznik oznacza większe prawdopodobieństwo. Tę prostą zasadę można zastosować w wielu innych zagadkach matematycznych o prawdopodobieństwie. Dzięki temu kolejne łamigłówki wymagają mniej czasu, a jednocześnie pomagają utrwalać nawyk myślenia opierającego się na danych liczbowych, a nie na domysłach.
